随便聊聊(1) - 有限群结构简单结论
近日试图整理本人平日里自学抽象代数时的一点浅薄的思考（因而并不是知识体系的全面总结），大多是一些令我惊叹的题目和证明，但也不乏大量琐碎的小结论。
文章在发布后也会不定期往里面添加内容。
有限群结构相关小结论
本文是关于有限群结构的简单结论。
若，则中存在二阶元
考虑 中的不动点数量其必然为偶数（因变换中轨道大小为），由单位元存在可得二阶元存在。
若满足，则
由陪集性质，注意到左陪集与右陪集相等
若，则中有大小为的正规子群
由 得，G中二阶元存在，随后考虑给出的群的置换表示（注意到在这样的置换表示中，不可能存在一阶轮换，除非该元素为单位元）， 的置换表示完全由 个 轮换组成。因而是一个奇置换，由奇偶置换的基本性质得知， 由奇偶置换各半组成，取出其中所有偶置换得到一个正规子群。(这给出一个简单的推论：这样阶数的单群不存在)
若，且 中存在 阶元 ，则 中一切奇数阶元构成正规子群
显然对 使用数学归纳法。考虑证明考虑证明 就是一个奇置换。
事实上 给出的置换群具有很强的性质， 阶元素的置换表示为 个 轮换 。
于是 的置换表示为 个 轮换，而这显然是个奇置换。
取 为群中一切偶置换组成的群，则 ，有归纳假设， 中一切奇数阶元构成 的正规子群
对任意奇数 ，若 即 ，则 ，然而由于 同样是 阶元，故这是矛盾的。
于是 是 中一切奇数阶元构成的群，易证正规。故结论成立
（这个题书上没有答案网上也找不到，可算给我搞出来了，瘫倒）
在子群 的左诱导表示中群作用核为
若满足，其中是的最小素因子，则
细探 中思路，发现其实际上在研究 的一切左右陪集，于是我们首先观察群中的左诱导表示。
显然这是一个群作用。于是是 的正规子群。
整除
而 整除 这给出 中至多有一个因子 ，然而 中不存在大于或小于 的素因子，因而我们得知 。即，可得 是正规子群。
若， 是素数，且 是 群，则中存在 阶元
对 使用数学归纳法， 时显然。若命题对一切 成立，那么对 考虑其中一个非单位元 。若 则直接取出 为所需要的元素，否则考虑商群 $G/pbb^p = ba^x$为所求的元素
若， 是素数，则中存在 阶元
对 使用数学归纳法， 时显然。若命题对一切 成立，那么 对 时直接考虑 的群方程（元素在内自同构群作用下的作用方程），若群中心 大小为 倍数，由 立得 阶元存在。否则，存在一个 同样不是 倍数，这意味着 中有一个 阶元。
若， 是素数， 作用于集合 ，则
由轨道稳定子引理得轨道大小均为 ，可得结论.
给出了 的一种基于数学归纳与群方程的证明，然而注意到 是 的一种特例，而其使用了一种截然不同的基于群作用的方式证明，其证明使用了与不动点相关的思想。为了试图从群作用上证明 ，本题给出了一个一般化的引理。 使用了 配对的思路寻找不动点，接下来的证明给出了一个及其漂亮的推广。
若， 是素数，则中存在 阶元
设 ， 取 ，观察到
使循环群 通过循环位移作用于 ，这显然是一个群作用
该群作用中一个轨道 ，然而注意到不动点只能是 ，其中 就是一个 阶元。
由引理 阶元数量 （除开单位元）。这意味着 阶元是存在的，且数量为
若， 是素数，则中 阶元数量等于
只需要注意到 可以配对为同一组，于是，可得结论
若 ，且 ，可得 。
考虑元素阶数若不存在 阶元，有 ，由 得
有方程 ，然而由条件得这是无解的，于是 阶元存在，证毕。（本题亦可由 得到）
若， 是素数，则中 阶元数量等于
只需要注意到 可以配对为同一组，于是，可得结论
取群作用
考虑这个作用的不动点
由 得
则
由上一结论这是显然的
若 存在一个大小为 的子群并且为 的某个子群的子群
首先由 上述结论对 成立，于是我们每次都试图构造 的情况。
由前述定理我们知道 ，于是在商群 中我们由 找到一个 阶元素
这个元素生成的群 $p\sigma:a\mapsto aHH’=\bigcup_{i=0}^{p-1}f^{-1}(a^iH)k+1$ 阶群。于是由数学归纳法我们证明了这个定理。
任意两个不同的 群在 中共轭
取群作用
考虑这个作用的不动点
于是 这意味着 非空，于是存在 即 与 共轭。
群的数量 满足
考虑 通过共轭作用作用在 的全体子群上，于是 ，可得
下面主要证明第二个条件，考虑群 通过共轭作用作用在全体 的 子群集合 上，我们得到
而如果 这表明
另一方面我们有 但是由于 我们有 在 中共轭，于是我们得到
于是 ，这便证明了第二个条件。
是有限群，，则 吧包含 的一个指数整除 的非平凡正规子群，或 同构于 的一个子群
首先观察群中的左诱导表示。
- 若 ，则
- 否则 非平凡，则这就是 的一个指数整除 的非平凡正规子群，而由于 可得这个正规子群同时是 的一个子群。
本题实际上导出了一个推论：若 那么 不是一个单群。
