分析原理 - 基础拓扑题选

摆烂太久了于是昨天久违地读了点闲书

前面省略了一点基本定理, 基本是在做题, 有错误欢迎指正

感觉 远不如 好使 但是后者不方便传b乎

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对于 证明以下三个条件是等价的

​ 是有界闭集

是紧集

的任意无限子集在 内有极限点

由定理 紧集的闭子集是紧的 以及 方格是紧集 直接得出

若 在 内无极限点, 则 存在 使之含有至多一个 中的点

于是 是一个 的覆盖, 然而其任意子覆盖不是有限的, 这与紧性矛盾

若不有界则可取一列 , 满足 此时显然 在 内无极限点

若不是闭集设 是 的一个极限点但 则取一列 满足

则由假设 存在一个不同与 的极限点 , 则除去有限个 有

$$\begin{aligned} |x_n - y| &\ge |y - x _0| - |x_n - x_0|\\ &\ge |x_0 - y| - \frac 1n \\ &\ge \frac 12 |x_0 - y| \end{aligned}$$

这就导出了矛盾

需要注意的是在任意度量空间中, 与 是等价的, 这一点将在后文中被证明

若 是 中的完全集, 则 是一个不可数集

否则假设 是一个可列集, 接下来归纳地构造出矛盾

令 是 的任意一个领域 下设 是非空集合

取 使得 且 同时 非空

( 这么取是合法的, 因为 是一个完全集, 因此其中所有点都是极限点 ) 由数学归纳法得到

由于 有 是一个空集

另一方面 是一个紧集, 且 是一个闭集, 因此 是一个紧集

由紧集的性质 非空, 这就导出了矛盾

证明 是可分度量空间

取其中所有坐标都是有理数的点构成集合 ​ 即可

证明可分度量空间有可数基

设其可数稠密集为 则取一切中心在 中半径为有理数的邻域构成开集簇

易证这是一个可数集

证明度量空间 的每一个无限子集有极限点则可分

固定 , 取一列 使得

假设这一过程可以无限进行下去则 有一个极限点

中包含无穷个 中的点, 取 可知矛盾

于是以上构造过程不能无限进行, 这表明 是度量空间 的一个有限覆盖

取 容易得到一个可数稠密集

证明度量空间 的任意无穷子集有极限点则 是紧度量空间

有前述命题 有可数基 这表明 有可数覆盖

假设 没有有限覆盖, 那么 非空

不妨设 不包含于 那么从 中取一点 构成集合

集合 有极限点 . 那么由于 覆盖 必然存在 使得

自然存在 的邻域 于是

于是对于任意 有 这与 是极限点构成矛盾

这表明 ​ 是紧度量空间

证明 凝点集 是一个完全集, 并且 是至多可数集

令 是 的一组可数集. 令 是使得 至多可数的 的并集, 显然 是至多可数的

先证明

若 则取任意邻域 则必存在 使得

由 知 根据定义 是不可数集合, 这表明 同样不可数, 也就是 是一个凝点

若 则存在一个 使得 , 由开集的性质知道存在一个邻域 使得

于是 是一个可数集, 这表明 不是一个凝点

再证明 是完全集

首先由 是开集得到 是一个闭集, 接下来证明 中无孤立点

否则设 且去心邻域 满足 , 显然 是一个开集

于是 , 则 有 至多可数, 这表明 至多可数, 而这与 是凝点矛盾

于是 ​ 是一个完全集

证若 其中 是闭子集, 那么, 至少有一个 具有非空的内部

​ 证若 是稠密开子集, 那么, 非空

首先验证上述两个表述的等价性 :

若命题一为假, 即所有 内部都为空, 那么 便是一个稠密开集. 于是

$$\bigcap\limits_{n = 1}^\infty (F_n)^c = \left(\bigcup\limits_{n = 1}^\infty F_n\right)^c = \empty$$

这就表明命题二为假

相反地如果命题一为真 那么取 即可证明命题二, 这就表明两个命题是完全等价的

下面考虑证明命题二 :

先取 以及 , 于是 是一个非空开集

接下来归纳地取 和

于是我们得到一列紧集 , 则有 非空

这就导出了 . 然而这个结论可以加强为 在 中稠密

这也是容易的, 只需在上面的证明取任意一个开集 , 并将全部 替换为 , 就能够证明 非空.

由于这对于任意开集 成立, 这也就证明了 在 中稠密