随便聊聊(1) - 有限群结构简单结论

近日试图整理本人平日里自学抽象代数时的一点浅薄的思考（因而并不是知识体系的全面总结），大多是一些令我惊叹的题目和证明，但也不乏大量琐碎的小结论。

文章在发布后也会不定期往里面添加内容。

有限群结构相关小结论

本文是关于有限群结构的简单结论。

若，则中存在二阶元

考虑中的不动点数量其必然为偶数（因变换中轨道大小为），由单位元存在可得二阶元存在。

若满足，则

由陪集性质，注意到左陪集与右陪集相等

若，则中有大小为的正规子群

由得，G中二阶元存在，随后考虑给出的群的置换表示（注意到在这样的置换表示中，不可能存在一阶轮换，除非该元素为单位元），的置换表示完全由个轮换组成。因而是一个奇置换，由奇偶置换的基本性质得知，由奇偶置换各半组成，取出其中所有偶置换得到一个正规子群。(这给出一个简单的推论：这样阶数的单群不存在)

若，且中存在阶元，则中一切奇数阶元构成正规子群

显然对使用数学归纳法。考虑证明考虑证明就是一个奇置换。

事实上给出的置换群具有很强的性质，阶元素的置换表示为个轮换。

于是的置换表示为个轮换，而这显然是个奇置换。

取为群中一切偶置换组成的群，则，有归纳假设，中一切奇数阶元构成的正规子群

对任意奇数，若即，则，然而由于同样是阶元，故这是矛盾的。

于是是中一切奇数阶元构成的群，易证正规。故结论成立

（这个题书上没有答案网上也找不到，可算给我搞出来了，瘫倒）

在子群的左诱导表示中群作用核为

若满足，其中是的最小素因子，则

细探中思路，发现其实际上在研究的一切左右陪集，于是我们首先观察群中的左诱导表示。

显然这是一个群作用。于是是的正规子群。

整除

而整除这给出中至多有一个因子，然而中不存在大于或小于的素因子，因而我们得知。即，可得是正规子群。

若，是素数，且是群，则中存在阶元

对使用数学归纳法，时显然。若命题对一切成立，那么对考虑其中一个非单位元。若则直接取出为所需要的元素，否则考虑商群 $G/ $中的$ p $阶元$ b $，其满足$ b^p = $，故存在$ ba^x$为所求的元素

若，是素数，则中存在阶元

对使用数学归纳法，时显然。若命题对一切成立，那么对时直接考虑的群方程（元素在内自同构群作用下的作用方程），若群中心大小为倍数，由立得阶元存在。否则，存在一个同样不是倍数，这意味着中有一个阶元。

若，是素数，作用于集合，则

由轨道稳定子引理得轨道大小均为，可得结论.

给出了的一种基于数学归纳与群方程的证明，然而注意到是的一种特例，而其使用了一种截然不同的基于群作用的方式证明，其证明使用了与不动点相关的思想。为了试图从群作用上证明，本题给出了一个一般化的引理。使用了配对的思路寻找不动点，接下来的证明给出了一个及其漂亮的推广。

若，是素数，则中存在阶元

设，取，观察到

使循环群通过循环位移作用于，这显然是一个群作用

该群作用中一个轨道，然而注意到不动点只能是，其中就是一个阶元。

由引理阶元数量（除开单位元）。这意味着阶元是存在的，且数量为

若，是素数，则中阶元数量等于

只需要注意到可以配对为同一组，于是，可得结论

若，且，可得。

考虑元素阶数若不存在阶元，有，由得

有方程，然而由条件得这是无解的，于是阶元存在，证毕。（本题亦可由得到）

若，是素数，则中阶元数量等于

只需要注意到可以配对为同一组，于是，可得结论

取群作用

考虑这个作用的不动点

由得

则

由上一结论这是显然的

若存在一个大小为的子群并且为的某个子群的子群

首先由上述结论对成立，于是我们每次都试图构造的情况。

由前述定理我们知道，于是在商群中我们由找到一个阶元素

这个元素生成的群 $ $中有$ p $个陪集，我们考虑对这些集合解包装。在自然群同态$ \sigma:a\mapsto aH $中我们取出$ H’=\bigcup_{i=0}^{p-1}f^{-1}(a^iH) $，容易验证这是一个$ k+1$ 阶群。于是由数学归纳法我们证明了这个定理。

任意两个不同的群在中共轭

取群作用

考虑这个作用的不动点

于是这意味着非空，于是存在即与共轭。

群的数量满足

考虑通过共轭作用作用在的全体子群上，于是，可得

下面主要证明第二个条件，考虑群通过共轭作用作用在全体的子群集合上，我们得到

而如果这表明

另一方面我们有但是由于我们有在中共轭，于是我们得到

于是，这便证明了第二个条件。

是有限群，，则吧包含的一个指数整除的非平凡正规子群，或同构于的一个子群

首先观察群中的左诱导表示。

若，则
否则非平凡，则这就是的一个指数整除的非平凡正规子群，而由于可得这个正规子群同时是的一个子群。

本题实际上导出了一个推论：若那么不是一个单群。