随便聊聊(2) - 有限群结构简单结论 续
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近日试图整理本人平日里自学抽象代数时的一点浅薄的思考（因而并不是知识体系的全面总结），大多是一些令我惊叹的题目和证明，但也不乏大量琐碎的小结论。
上篇文章中结论过于浅显小清新，这一篇中会有大量内容是 抄书/习题。另一方面感觉把每个小结论拆开来整理不是很好，这次稍微调整一下笔记结构。
写笔记于我而言无非是一种督促我自己读书的手段，也只有在这个过程中我会静下心阅读各种各样的资料，拿起笔喝着咖啡悠闲地推推公式。发布笔记对我学习带来的正反馈作用无疑是远远高于写作业考试拿学分的，这个过程确实让我感觉痛并快乐着，而不是只有被内卷的气氛裹挟的反胃。
文章在发布后也会不定期往里面添加内容。
有限群结构相关小结论
是有限 群，其中心 包含任何一个 阶正规子群
这里并不直接证明这个结论，而是分别给出其两个方向上的推论及证明。其中第一个给出了 群的重要性质，另一个则给出了对同态核与自同构群的精妙运用。
是有限 群，其中心 与任意正规子群有非平凡交（这给出中心本身非平凡）
考虑正规子群 ，考虑使 通过共轭作用作用在其上，其作用核有
，故有非平凡交.
是 最小素因子，其中心 包含任何一个 阶正规子群
考虑正规子群 ，考虑使 通过共轭作用作用在其上，有
，故 ，然而 ，故
故 即
是一个 -群，， 那么存在 且 .
本题加强 第一定理对 群内子群关系的回答
由正规子群性质 ， 与 有非平凡交，其中必然包含一个 阶正规子群
于是考虑其在自然同态下的原像 ， 显然满足 且
是有限 -群， 整除 ，则 有 阶正规子群.
由上一个结论直接导出
是有限 群，其大小为 的子群数量记为 ，证明
由加强的 立得 中 阶元数量 ，而任一 阶群内存在 个这样的元素。应一方面任意两个 阶群有且仅有平凡交，故
是有限 群，，包含 的 阶子群的数量记为 $r^r^\equiv_p1$
由前述定理一切 阶子群 包含 有 ，则 。
由 所求的子群数量等于 中的 阶子群，于是得到
是有限 群，， 包含的 阶子群的数量记为 $r_r_\equiv_p1$
考虑一切满足条件的子群 （假设数量大于 否则结论是显然的），显然 ，可得 ，则
记上述子群为 ，有 ，显然 或同构于 或同构于 ，然而其中包含 两个不同子群，因而 ，从而其中包含 个不同的子群（包括 ）。
假设除此以外存在 同样满足条件，使用同样的方法考虑 得到 个不同的子群。
考察上述两个列表中的子群，发现这 个子群由 唯一确定，进而由其中任意两个子群唯一确定，故以上两个列表至多有一个子群是重复的，那便是 。于是重复上述步骤 次直到穷尽 ，可得
是有限 群，其大小为 的子群数量记为 ，证明
接下来使用 实现一个惊为天人的二重计数得到本结论
考虑全体 阶子群 与全体 阶子群 ，这二者之间通过包含关系形成二分图，考虑计数对象为二分图的边
于是 $\large\sum^{r_k}_{i=1}r^(H_i)=\sum^{r_{k+1}}_{i=1}r_(K_i)\large r_k\equiv_pr_{k+1}$ ，由数学归纳法立得结论成立。
是有限群，其大小为 的子群数量记为 ，证明
考虑 得某一个 子群 ，使之通过共轭作用作用在 的一切 阶子群上
于是得到
于是 ，证毕。
本题中可以看出一个结论：若 是 的正规 子群那么 含于一切 子群
是有限 -群， 整除 ，则 中的 阶正规子群数量模 同余于 .
由 这是显然的，本题是对 的加强。
，则
，而另一方面 ，故
因此 ， ，证毕。（下面给出这个定理在群作用中的推广）
若 传递地作用在有限 上，则 对一切 成立
由于 传递，显然 传递，则对任意 ，存在 ，于是
于是 ，可得 对一切 成立
设 是 不同素因子的 子群构成的集合，证明
一方面 ，另一方面由于 有 ，于是结论成立
有限群 ，若 ，则
由 ，有 ，于是 证毕
对任意 ，有 ，求证
考虑 子群 通过共轭作用作用在全体 的 子群集合 上，考察这个群作用的轨道
，
是 的唯一 子群，于是 于是
于是 ，仿照 第三定理类似证明方法可以得到本结论。
下面介绍来自冯克勤《近世代数三百题》上使用双陪集分解完成的证明，并附相关结论
，则
为 右陪集的无交并，其中 为不同陪集的代表元
于是有 ，从而 即 是 关于 右陪集的代表元，于是结论成立
是 的一个无交并分解，这被称为双陪集分解
定义关系 易证这是一个等价关系，于是可以分解
的左右陪集分解可以具有相同的代表元系
考虑双陪集分解 ，于是每个 都是 个左右陪集的无交并
有 ，进一步 ，证毕
对任意 ，有 ，求证
设 欲求 的值，考虑双陪集分解 ，其中
对于任意代表元 ， 即为 关于 的右陪集的数量
另一方面 当且仅当
补充Wielandt方法对部分定理的另证
本证明是 中给出的 的绝妙证明：
若 存在一个大小为 的子群并且为 的某个子群的子群
记 为 中一切大小为 的子集构成的集合 ，使 以左乘作用在 上。
由 有 ，故存在 使得 ，故 。
取任意 ，易得 是单射，故 。 于是 ，证毕。
是有限群，其大小为 的子群数量记为 ，证明
设 。 ， 记 为 中一切大小为 的子集构成的集合，使 以左乘作用在 上。
考虑轨道 ，其中 取包含单位元的集合 。 考虑其稳定化子 ，构造单射得到
若 ，那么 是一个子群，，轨道是其左陪集的集合，显然其中子群唯一。
否则若 ，于是 ，因此其中必然没有子群（否则情况必然同上）
现考察其中包含一个子群的轨道数目，
只需证明 ，假设
由 和 可得二式做商结果模 为 ，于是通过数学归纳法极度暴力得证毕了。
事实上最后一步的推导部分是完全不必要的，只需注意到这个结论只与 的数值有关，于是直接考虑循环群中的情况，结论显然。这个方法甚至可以用来证明最后一步的同余式。
