数学分析 A3 备忘录

备忘录是考试导向的，由于大部分内容都很简单但是需要记忆的结论比较琐碎所以几乎不会有证明，并且很多内容会用感性语言而不是数学语言叙述，毕竟你是为了拿分不是为了学习。

本文适用人群应当满足如下条件：整个学期没听课也没学习，并且只有预留了几个小时的复习时间

对应到的教材是史济怀的数学分析教程 14-18 章节，对应肥科数学分析 A3 课程。

[TOC]

1.无穷级数问题

正项级数比较判别法及其常见形式：极限形式和比值形式（导出的等价量判别法）

比较判别法的推论：

• Cauchy 根值判别法（单项开根上极限）
• d’Alembert 判别法（前后项比值）
• Raabe 判别法（处理 d’Alembert 比值趋近 1 的情况）
• Bertrand判别法（处理 Raabe 比值趋近于 1 的情况）
• Gause 判别法（综合以上三种判别法）

一般项级数引入绝对收敛的概念（这是自然的）

• Leibniz 判别法（交错级数单项收敛于 0）
• 乘积 Dirichlet 判别法（Abel 变换的推论，其中某项单调收敛到 0，另一侧部分和有界）
• 乘积 Abel 判别法（Abel 变换的推论，其中某项单调有界，另一侧收敛）

积分判别法：当函数单调递减时，无穷级数与无穷积分同敛散

条件收敛黎曼重排定理：可以收敛到扩充实数轴上任意值

Mertens 定理：处理 Cauchy 乘积问题

无穷乘积：如果对充分大的 恒非负/非正，与对应的无穷正项/负项级数同敛散

如果 变号但是无穷级数 收敛，那么当 收敛时无穷乘积收敛 / 发散时无穷乘积发散于

2.函数项级数问题

函数项级数的主要问题在于一致收敛的判断，一致收敛的一般判断方法是从他的定义触发，解题中可以使用他的极限形式。

Weierstrass 优势判别法（如果函数项级数可以被一个收敛的正项级数一致地控制，那么可以认为一致收敛），其他衍生的判别法

• 乘积 Dirichlet 判别法（与无穷级数的情况相同）
• 乘积 Abel 判别法（与无穷级数的情况相同）

对角线判别法 如果存在 使得 那么不一致收敛。（合理取点可以证明不一致收敛）

性质 对于一列在 左连续的函数项级数 并且 发散，那么不一致收敛（需记住证明方法：使用 Cauchy 列）

Bendixon 判别法 （利用导函数性质判定）可微函数项级数 在 收敛并且导函数部分和一致有界，那么一致收敛

接下来是和函数与极限函数的性质若干，首先是极限顺序交换基本原理以及他的三分法证明，这里只罗列推论

• 一致收敛下，极限与极限可交换
• 一致收敛下，极限与积分可交换
• 一致收敛下，极限与导数可交换（本身至少在一点收敛）

对于上面三个性质来说一致收敛的条件过强，一般我们把它弱化为内闭一致收敛，虽然实际上可以进一步弱化，但这里不涉及。

Dini 定理：如果函数列 在 上连续且逐点递减收敛到 ，那么函数一致收敛到 （通过极限函数的性质还原函数项级数的性质）

3.幂级数问题

收敛半径的结论

幂级数的和函数在收敛范围 内任意阶可导（任意阶导数的收敛半径都是 ）

幂级数的和函数在收敛范围 内可积，且积分函数的收敛半径是

Abel 第二定理：如果幂级数在 处收敛则在该点左连续，右侧同理

Tauber 定理：设幂级数 的收敛半径为 ，满足 存在并且 那么

上述定理中条件改为 那么可以得到同样的结论。

幂级数的乘积是他们的 Cauchy 乘积

Taylor 级数 收敛充要条件是 逐点收敛到 （废话）

一个充分条件是任意阶导数 关于 一致有界

4.Weierstrass 定理相关问题

熟悉 Weierstrass定理的各种证明：

• 概率观点：Bernstein 多项式
• 卷积核观点：构造多项式卷积核
• 先用其他方法得到 的多项式一致逼近，然后考察空间内的代数下集合的一致闭包

以上内容均可以参考 Rudin 的教材，这里不再详述。

期中考 Miscellaneous

部分考试题目

5.广义积分的收敛问题

收敛相关的定理（反常积分、瑕积分）:

• 比较收敛法及其极限形式
• 乘积 Dirichlet 判别法（与无穷级数的情况相同）
• 乘积 Abel 判别法（与无穷级数的情况相同）

广义积分的 Cauchy 主值

6.含参数函数积分问题

这一部分的主要的问题是积分、极限、求导等极限运算的交换顺序。

常义积分：如果函数 在闭矩形上连续，那么：

• 积分与极限可交换
• 积分与积分可交换
• 积分与偏导可交换（如果偏导数连续）

以上结论都是多元函数的部分就已经解决了的，这一章节的重点是下面的广义积分部分：

广义积分：仿照一元函数的收敛我们有，函数 关于 一致收敛于 当且仅当任意函数项数列 收敛于

如果 连续并且收敛是一致的，那么收敛到的 是连续的

最常见的一致收敛判别 Cauchy 方法：直接对函数 计算 并判断这个函数是否在 的情况下收敛于

Weierstrass 优势判别法（如果函数 可以被一个收敛的正项函数 一致地控制，那么可以认为一致收敛），其他衍生的判别法：

• 乘积 Dirichlet 判别法（与函数项级数的情况相同）
• 乘积 Abel 判别法（与函数项级数的情况相同）

Dini 定理：如果函数列 在 上连续且逐点递减收敛到 ，那么函数一致收敛到 （通过极限函数的性质还原函数项级数的性质）

判断完一致收敛之后就可以来处理我们最关心的换序问题，下面给出含参数广义积分的性质：

内闭一致收敛推出极限与积分可以交换（极限与广义积分交换、常义积分与广义积分交换，不再详细叙述每个定理）

7.两个特殊函数

注意

这一部分会不加说明地直接考察，要求你背诵这两个公式，下面是一些常见的可以直接使用的公式。

8.傅里叶级数的收敛问题

我们定义傅里叶级数为

根据 Riemann-Lebesgue 定理， 上的函数 绝对可积，那么我们有（对 也是一样）

$$\lim\limits_{\lambda\to+\infty}\int\limits_{a}^{b}f(x)\cos{\lambda x}\mathrm{d}x=0$$

如上定义的 均随 收敛于

接下来要解决的是傅里叶级数的收敛问题

局部化定理 傅里叶级数收敛与否只取决于一点 附近函数的性质

Dini 判别法 令 , 如果存在 , 使得函数 在上可积且绝对可积，那么 的 Fourier 级数在处收敛于

推论：如果周期为 的函数 在上是分段可微的，那么 的Fourier 级数在每点 处收敛于(.特别是在 的连续点处，它收敛于

Cesaro意义：定义为 的极限，Fejer定理指出傅里叶级数在这个意义下收敛于

平方平均逼近：即采用 定义的函数逼近

（这里省略关于一般的完备正交系的说明，这些内容在线性代数中会完整涉及）

对于傅里叶级数而言有特殊的 Bessel 不等式和 Parseval 恒等式：

这一部分最重要的考试项目还是傅里叶级数的计算问题，需要熟知收敛性相关理论

9.傅里叶积分的收敛问题

傅里叶积分定义为

绝对可积的条件下 均对 一致连续

局部化定理 若 绝对可积，傅里叶积分收敛与否只取决于一点 附近函数的性质

Dini 判别法 若 绝对可积，令 , 如果存在 , 使得函数 在上可积且绝对可积，那么 的 Fourier 级数在处收敛于

如果 定义在 上，通过对其作奇性偶性延拓可以得到傅里叶正弦、余弦变换：

其反变换都为本身，即

这样的变换可以帮助我们求解一些不太容易计算的积分

复数形式的傅里叶变换以及逆变换：

定义卷积：

$$(f * g)(t)=\frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{+\infty} f(t-u) g(u) \mathrm{d} u$$

有以下关于傅里叶变换的结论：

若 则

常考题：解积分方程：

只需两边作傅里叶正弦变换，则可以得到 关于 的积分公式

解积分方程：

两边做复数形式的傅里叶变换，将卷积转化为直接的乘积，得到 ，然后傅里叶逆变换得到最后答案

期末考 Miscellaneous

考前备忘

记号表示平方反常可积