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子群格基本算法子群格与子群层级 定义 一个群的子群格是由其所有子群和子群间的包含关系构成的二元组 实际上就是子群所构成的偏序集 定义 子群格中的元素地层数 定义为子群阶数中素因子指数的和 于是我们自然地想到，可以按照层数以此构造出一个群的全体子群 循环扩张基础算法 是一个 层的子群的一个充分不必要条件是存在一个 层子群 和一个元素 使得 使用这种方法我们可以从由一层的子群构造出下一层的子群（注意到这个方法并不永远能构造出全部的子群，在一个群没有完全子群的情况下这是可以的） 接下来遇到的一个问题是，如何保证加入第 层的子群与之前的子群不重合呢？ 事实上会发生重合的情况只有以下两种 是第 ​ 层子群中的元素 是已经加入第 层的子群中的元素 于是我们给出一个简单的算法 算法 1 12345678910111213for U_{i-1} in the layer[i-1]: Gamma := G - U_{i-1} for W in the layer[i]: if U_{i-1} is contained in W: Gamma -= W whi ...

随便聊聊(2) - 有限群结构简单结论 续10/6 近日试图整理本人平日里自学抽象代数时的一点浅薄的思考（因而并不是知识体系的全面总结），大多是一些令我惊叹的题目和证明，但也不乏大量琐碎的小结论。 上篇文章中结论过于浅显小清新，这一篇中会有大量内容是 抄书/习题。另一方面感觉把每个小结论拆开来整理不是很好，这次稍微调整一下笔记结构。 写笔记于我而言无非是一种督促我自己读书的手段，也只有在这个过程中我会静下心阅读各种各样的资料，拿起笔喝着咖啡悠闲地推推公式。发布笔记对我学习带来的正反馈作用无疑是远远高于写作业考试拿学分的，这个过程确实让我感觉痛并快乐着，而不是只有被内卷的气氛裹挟的反胃。 文章在发布后也会不定期往里面添加内容。 有限群结构相关小结论 是有限 群，其中心 包含任何一个 阶正规子群 这里并不直接证明这个结论，而是分别给出其两个方向上的推论及证明。其中第一个给出了 群的重要性质，另一个则给出了对同态核与自同构群的精妙运用。 是有限 群，其中心 与任意正规子群有非平凡交（这给出中心本身非平凡） 考虑正规子群 ，考虑使 通过共轭作用作用在其上，其作用 ...

随便聊聊(1) - 有限群结构简单结论近日试图整理本人平日里自学抽象代数时的一点浅薄的思考（因而并不是知识体系的全面总结），大多是一些令我惊叹的题目和证明，但也不乏大量琐碎的小结论。 文章在发布后也会不定期往里面添加内容。 有限群结构相关小结论本文是关于有限群结构的简单结论。 若，则中存在二阶元 考虑 中的不动点数量其必然为偶数（因变换中轨道大小为），由单位元存在可得二阶元存在。 若满足，则 由陪集性质，注意到左陪集与右陪集相等 若，则中有大小为的正规子群 由 得，G中二阶元存在，随后考虑给出的群的置换表示（注意到在这样的置换表示中，不可能存在一阶轮换，除非该元素为单位元）， 的置换表示完全由 个 轮换组成。因而是一个奇置换，由奇偶置换的基本性质得知， 由奇偶置换各半组成，取出其中所有偶置换得到一个正规子群。(这给出一个简单的推论：这样阶数的单群不存在) 若，且 中存在 阶元 ，则 中一切奇数阶元构成正规子群 显然对 使用数学归纳法。考虑证明考虑证明 就是一个奇置换。 事实上 给出的置换群具有很强的性质， 阶元素的置换表示为 个 轮换 ...