2-Spin System Quick Notes
SettingConfiguration : A configuration of graph is a map such as:
\begin{aligned}
\sigma: V &\to 2^V\\
u&\mapsto \{+,-\}
\end{aligned}Partition Function: For graph , define its partition function as
Z_G(\beta, \gamma, \lambda) = \sum_{\sigma} \beta^{m_{++}}\gamma^{m_{--}}\lambda^{n_+}where is the number of edges between two vertices pinned to , is the number of vertices pinned to , and we sum over all possible configurations.
Initially, we wonder when there exsits a polynomial time ...
一道出现在线代课后习题的组合矩阵论入门题
题目出处：王新茂《线性代数讲义》 第二章第四节习题16由于王老师的讲义版本更新极快，这里放上本文参考的的版本是 2023-4-23版本 （讲义和源码都是开源的，因此我在个人网站内存了一份）最新版本的pdf和源代码均可以在王老师的个人主页上找到（需接入USTC校园网）。
题目先给出几个定义：
对于任意 , 若存在置换方阵 使得 , 其中 都是阶数 的方阵, 则 称为可约的, 否则 称为不可约的.
若 的元素都 , 则 称为非负矩阵.
对于非负矩阵 , 若存在正整数 使得 的元素都 , 则 称为本原的, 否则 称为非本原的.
设 是非负矩阵. 证明:
是不可约的 存在正整数 使得 的元素都是正实数 存在正实数 使得 的元素都是正实数.
存在置换方阵 使得 是准上三角方阵, 其中每个准对角块都是不可约方阵.
若 是本原的, 则 是不可约的.
若 是非本原且不可约的, 则存在正整数 和置换方阵 , 使得
P^T A P=\left(\begin{array}{cccc}
O & A_1 & & \\
& O & \ddots & \\
...