数学分析 A3 备忘录
备忘录是考试导向的，由于大部分内容都很简单但是需要记忆的结论比较琐碎所以几乎不会有证明，并且很多内容会用感性语言而不是数学语言叙述，毕竟你是为了拿分不是为了学习。
本文适用人群应当满足如下条件：整个学期没听课也没学习，并且只有预留了几个小时的复习时间
对应到的教材是史济怀的数学分析教程 14-18 章节，对应肥科数学分析 A3 课程。
[TOC]
1.无穷级数问题正项级数比较判别法及其常见形式：极限形式和比值形式（导出的等价量判别法）
比较判别法的推论：
Cauchy 根值判别法（单项开根上极限）
d’Alembert 判别法（前后项比值）
Raabe 判别法（处理 d’Alembert 比值趋近 1 的情况）
Bertrand判别法（处理 Raabe 比值趋近于 1 的情况）
Gause 判别法（综合以上三种判别法）
一般项级数引入绝对收敛的概念（这是自然的）
Leibniz 判别法（交错级数单项收敛于 0）
乘积 Dirichlet 判别法（Abel 变换的推论，其中某项单调收敛到 0，另一侧部分和有界）
乘积 Abel 判别法（Abel 变换的推论，其中某项单调有界，另一 ...
对Stone-Weierstrass定理的简单讨论
对Stone-Weierstrass定理的简单讨论Weierstrass逼近
如果 是 上的一个连续实函数，那么便有实多项式 的序列使得
\lim\limits_{n\to \infty} P_n(x) = f(x)在 上一致地成立，对于连续复函数也可以用复多项式逼近
这是 最早发现的逼近定理的形式。
证明 : 不失一般性地假定 并且假设 ，否则令
g(x) = f(x) - f(0) - x[f(1)-f(0)]\quad (0\le x\le 1)我们再补充定义 在 以外地区间上取 那么该函数在实轴上一致连续。
取
Q_n(x) = \frac{(1-x^2)^n}{\int_{-1}^1 (1 - x^2)^n \,\mathrm{d}x}现在令
P_n(x) = \int_{0}^1 f(t) Q_n(t-x) \,\mathrm{d}t注意到这样构造出来的 是关于 多项式。虽然这是一个显然的结论，但是对卷积不熟悉的人可能会产生一定的困惑，所以这里详细展开一下：事实上注意到 是变量，所以把 写成关于 的多项式：
\begin{alig ...
讨论几道有趣的定积分上手题
讨论几道有趣的定积分上手题2/18
马上要开学期末考，做几个有趣的题练练手. 这几天凉宫春日看的很开心, 好久没看到这种作品了, 于是一改之前用来自深渊头图的习惯. 试用 Zhihu on VSCode 感觉很爽.
设 在区间 上二阶可微，且 ，对正整数 定义
B_n= \int_0^1 f(x) \mathrm dx - \frac 1n \sum\limits_{k=1}^n f(\frac{2k - 1}{2n})证明
这一道题来自数学分析习题课讲义，意在证明对积分区间 等分数值积分，取区间中点估计的情况下误差项的级别是 。而这一题的前导问题则证明了取区间断点估计的情况下误差级别是 ，使用同样的方法我们可以证明本题。
解法 1 :
B_n =\sum\limits _{k = 1} ^n \int_{\frac{k - 1}n}^{\frac kn} f(x) - f(\frac{2k-1}{2n}) \mathrm dx于是乎我们先考虑证明一个引理：
\begin{aligned}
\int_{a}^{b} \left(f(x) - f(\frac{a ...
分析原理 - 基础拓扑题选
分析原理 - 基础拓扑题选摆烂太久了于是昨天久违地读了点闲书
前面省略了一点基本定理, 基本是在做题, 有错误欢迎指正
感觉 远不如 好使 但是后者不方便传b乎
对于 证明以下三个条件是等价的
是有界闭集
是紧集
的任意无限子集在 内有极限点
由定理 紧集的闭子集是紧的 以及 方格是紧集 直接得出
若 在 内无极限点, 则 存在 使之含有至多一个 中的点
于是 是一个 的覆盖, 然而其任意子覆盖不是有限的, 这与紧性矛盾
若不有界则可取一列 , 满足 此时显然 在 内无极限点
若不是闭集设 是 的一个极限点但 则取一列 满足
则由假设 存在一个不同与 的极限点 , 则除去有限个 有
\begin{aligned}
|x_n - y| &\ge |y - x _0| - |x_n - x_0|\\
&\ge |x_0 - y| - \frac 1n \\
&\ge \frac 12 |x_0 - y|
\end{aligned}这就导出了矛盾
需要注意的是在任意度量空间中, 与 是等价的, 这一点将在后 ...