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这个页面主要测试这个博客中可以使用的一些特殊功能（在我的文章中大概率不会用到的）

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$\textbf{2.}\quad$ 计算积分

$$I_n = \int_0^{\frac\pi 2} \cos^nx\cos nx \mathrm dx$$

证明

我们注意到被积函数关于 $\frac \pi 2$ 的对称性，于是转为考察 $ J_n = \int_0^{\pi } \cos^nx\cos nx \mathrm dx$ 的值

又注意到三角函数的正交性：

$$\int_0^\pi \cos mx \cos nx = \left\{ \begin{aligned} 0& \quad, m \not=n\\ \frac \pi 2& \quad, m = n\\ \end{aligned} \right.$$

再注意到三角函数的切比雪夫多项式，我们有

$$\cos^n x = \frac 1{2^{n - 1}} \cos nx + A_{n - 1} \cos (n - 1)x + \cdots + A_1 \cos x$$

于是我们做完了

Gallary

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